2成分の絡み目 L の成分 L1 と L2 に向きを指定したとき、絡み数 (linking number) という量が定義できる。L の射影図における各交点に対して向きの関係によって下図のように "+1" または "−1" の符号を対応させ、L1 と L2 の交点の符号の総和を 2 で割ったものを L の絡み数という（異なる成分からなる交点の数は常に偶数なので絡み数は必ず整数値をとる）。絡み数は向き付けられた絡み目の不変量となる。絡み目のどちらか片方の成分の向きを逆にすると絡み数の符号が反転するので、絡み数は絡み目不変量ではない。しかしその絶対値は絡み目の不変量になる。
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結び目（絡み目）の射影図において、ある交点から別の交点までつながった一部分で、両端の交点では下を通るが途中では（上を通ったとしても）下を通らない場合にそれを道と呼ぶ。ただし自明な結び目の射影図も道とする。 このように道という語を定義したときに、射影図の各交点に3つの道が集まることになる（ただしそのうち2個は重複している可能性もある）。 ここで以下の2つの条件をともに満たすように結び目（絡み目）の射影図の道を3つ以下の異なる色で彩色できるとき、その結び目（絡み目）は三彩色可能であるという。
任意の交点において、その交点に集まる3つの道は全て同じ色に塗られている、または3色の異なる色で塗られている
射影図全体に2色以上の色が使われている
たとえば三葉結び目、自明な2成分の絡み目が三彩色可能であるのに対して八の字結び目、ホップ絡み目、ホワイトヘッド絡み目は三彩色不可能である。 三彩色可能性は結び目不変量となる。 よって三葉結び目が解けていないこと、三葉結び目と八の字結び目が異なる結び目であること、ホップ絡み目やホワイトヘッド絡み目が自明な2成分の絡み目でないことがわかる。
多項式不変量 [編集]
結び目の不変量で、特に多項式となっているものを多項式不変量という。これには、伝統的に、正負の（分数）冪を許す多項式不変量も含まれる。多項式不変量の最初の例は、1928年にアレキサンダーが構成したアレクサンダー多項式である。これは絡み目の補空間の基本群から定義できる。その後、コンウェイによるアレクサンダー多項式のスケイン関係式による再定式化（アレキサンダーコンウェイ多項式）を経て、1984年にジョーンズによって全く新しい多項式不変量ジョーンズ多項式が発見された。これは長らく唯一であった多項式不変量に新たな種類を付け加えたのみならず、統計力学や量子場の理論、量子不変量、量子群など他の分野との関連の膨大な研究を生み出すことになった。さらにその後アレキサンダー多項式、ジョーンズ多項式をそれぞれ特殊な場合に含むホンフリー多項式が発見され、これらの他にも幾つかの多項式不変量が知られている。
残念なことに上に挙げたどの多項式不変量も完全に結び目を分類することは出来ない。つまり同じ多項式の値を持つ異なる結び目が存在するのである。しかし、スケイン関係式を満たすどんな多項式不変量も、完全には結び目を分類できないかどうかなどについてはまだわかっていない。